20 de enero de 2005

El Airbus de Hilbert

Si creían, como Borgeano, que había terminado con el inagotable aunque agotador asunto del infinito estaban muy equivocados. Un servidor es, ante todo, “pertinaz”, que, por si no lo saben, en sentido estricto es “reo de la Inquisición que persiste en su error o herejía”. Tras una leve reforma para dejar de lado los espinosos asuntos tan hábilmente “desespinados” por tan conspicuo comentarista y autor, vuelvo a la carga con la esperanza nada secreta de que el acoso y derribo resulte hoy algo más difícil pero no imposible. De todas formas, en franco homenaje a su aportación haré hoy dos cosas. La primera, contenerme una vez más y no hacer ninguna referencia a Txunami Ibarretxe (¿se han dado cuenta de mi contradicción?, es lo que hacen los políticos todos los días, decir cosas como: “No le diré que es usted un imbécil”). La segunda, iniciar hoy la tortura con estas palabras:

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética: hablo del infinito. (Jorge Luis Borges una vez más)

Pues sí, señores, esto del infinito es muy chungo. Como concepto existe prácticamente desde que existe la razón. Supongo, con cierta base que no concretaré, que la cosa viene de las primeras experiencias humanas con realidades efectivamente infinitas como la estupidez o la envidia. Pero es idea que implica tantas paradojas que resulta perturbadora. Tan perturbadora que muchos han sido los que han querido negarla a lo largo de la historia. El equipo griego, con Aristóteles a la cabeza, trató de enfrentar el problema a través de dos concepciones complementarias desarrolladas en el tercer libro de su Física: el infinito como proceso y el infinito como totalidad, es decir, el infinito potencial y el infinito actual. El primero se basa en una operación reiterativa. Por ejemplo, para cada número siempre es posible encontrar uno mayor, y así sucesivamente (la idea también puede aplicarse a infinitas subdivisiones para llegar a lo infinitamente pequeño; Aquiles y la tortuga sin ir más lejos). Lo perturbador es el infinito actual, cantidades que son efectivamente infinitas, ilimitadas. Esto llevó a Kant a negar que la experiencia pudiera alcanzar nunca el infinito actual (mucho antes, Santo Tomás de Aquino había "demostrado" que, aunque Dios era ilimitado, no podía crear cosas ilimitadas; ¡Qué fuerte!). La cosa parecía resuelta: siempre se puede ser más tonto, pero nunca se puede ser el más tonto; siempre se puede envidiar más pero nunca se puede ser el más envidioso. Problema resuelto y a otra cosa mariposa. ¿Están seguros?

Si han hecho algún curso de cálculo este infinito, el “potencial”, es el que les han contado. Carl Friedrich Gauss, uno de los más grandes matemáticos de la historia, escribió en 1831: Protesto contra la utilización de una cantidad infinita como si fuese una entidad real; en matemáticas esto está prohibido. El infinito no es más que un modo de hablar, en el que se mencionan, en el sentido propio, aquellos límites a los que ciertas razones se pueden aproximar tanto como se desee, mientras que a otras se les permite crecer sin límite. Pero a pesar de estas prohibiciones, unos cuantos temerarios siguieron planteando la idea del “infinito actual” desde Bolzano con sus Paradojas del infinito publicadas póstumamente en 1851 hasta nuestro buen amigo Cantor al que debemos la definición de un conjunto infinito como aquel en el que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre el mismo conjunto y un subconjunto del mismo.

El señor Cantor llegó un pocos más lejos y estableció que el conjunto infinito más pequeño posible es el conjunto de los números naturales (0, 1, 2, 3, ...) cuyo cardinal denominó aleph subcero (ignoro como poner la letra “aleph” en este blog, pero estoy seguro de que Borges tampoco lo sabía). Todos los conjuntos infinitos con este mismo cardinal (es decir, con el mismo numero de elementos) se denominan numerables (es obvio, cada elemento del conjunto se puede poner en correspondencia con un número natural). Reparemos, por tanto, un tradicional error que se encuentra hasta en las Sagradas Escrituras, la idea de que lo infinito es lo que no se puede contar: Y juntó José trigo como arena de la mar, mucho en gran manera, hasta no poderse contar poque no tenía número (Génesis, XLI, 49). No les aburriré con otros infinitos de Cantor, que resultaron ser mayores, ni con la misteriorsa “hipótesis del continuo”. Me quedaré con este mínimo infinito para hablarles del “Hotel de Hilbert”.

El hotel de Hilbert consta de infinitas habitaciones (aleph subcero habitaciones, para ser exactos) con los números 1, 2, 3,... (imagínenlo como un motel en el que las habitaciones están en fila). Una noche, estando el hotel completamente ocupado se presentó un viajero solicitando habitación. El gerente, interesado conocedor de las propiedades de los infinitos resolvió la situación de forma asombrosamente simple: trasladó a cada huésped a la habitación contigua, quien estaba en la número 1 pasó a la número 2, etc. De esta forma la habitación número uno quedó libre pudiendo alojar al viajero.

Si hubieran llegado seis viajeros, tan sólo hubiera tenido que trasladar a cada huésped seis habitaciones más allá para dejar las seis primeras libres. Esta solución es válida para cualquier número de viajeros. Pero ¿y si ese número también es infinito? Pues eso mismo ocurrió otra noche y el avispado gerente también dio con la solución: trasladó a cada huésped a la habitación cuyo número fuera el doble de la que tenía. De esta forma quedaron libres todas las habitaciones impares, que son infinitas, pudiendo alojar a estos infinitos viajeros (si se leen este artículo de la Wikipedia, comprobarán que las posibilidades llegan aún más lejos, hasta el caso de infinitos grupos de infnitos viajeros). Como ven, en el hotel de Hilbert la probabilidad de Overbooking es nula (otra cosa es que le tengan a uno continuamente cambiando de habitación).

Si les he contado esta breve historia es porque ayer (o antesdeayer, no recuerdo bien) se presentó lo que nuestro iluminado presidente (hay muchos presidentes iluminados, me refiero al de España) ha denominado “monumento a la ciencia y la tecnología”, el flamante Airbus A380, macroavión descomunal cuya utilidad no alcanzo a vislumbrar (aunque entiendo que tenga duchas, es consecuencia de que tenga gimnasio). Y un servidor, que ha sido abandonado en tierra en numerosas (¿incontables? ¿innumerables? ¿se acordarán de mí cada vez que les vengan estos adjetivos a la cabeza?) ocasiones por casi todas las compañias aéreas del planeta, está convencido que habría sido mucho más provechoso, puestos a ser faraónicos, construir el “Airbus de Hilbert” y acabar de una vez por todas con el maldito overbooking (Si ZP no lo ha entendido bien, estoy dispuesto a explicarselo al estilo Jordi Sevilla, “en dos tardes”). Mañana más.