27 de junio de 2005

Mosaicos

Por lo visto, esto de las letras no hace más que encender debates que se alargan y se estiran, como en la pesadilla de un topólogo, hasta el indecible infinito. El que nos venía rodeando a lo largo de los últimos días gozaba (goza, quizás) de muy buena salud toda vez que no se aprecia todavía en el horizonte la figura de Hitler o de los nazis que el perspicaz Mike Godwin supo ver amenazando toda discusión. Tampoco es cosa de extrañar mucho, el primer escrito conocido ha resultado ser una maldición. Cambiaré hoy de tercio hacia la matemática que, como todo el mundo sabe, pocas disputas suscita, con infundada esperanza de dejar atrás la controversia literaria.

Claro que el que se haya creído eso de que la matemática pocas disputas suscita es todo un ingenuo. Una de las más ridículas (y de las menos matemáticas) tuvo por protagonista a un mamarracho ilustre cuya incompetencia matemática no le impidió porfiar allá donde le vino en gana. Con estos datos más de uno pensará que me refiero a algún español, pero en realidad les estoy hablando de Thomas Hobbes.

Con cuarenta años Thomas Hobbes se asomó a los textos de Euclides. No tenía ni idea de geometría, pero eso fue obstáculo para que se convenciera de que Euclides estaba equivocado, de que incluso el teorema de Pitágoras era erróneo. De haber vivido hoy en día, Hobbes estaría, con toda seguridad, sentado en alguna tertulia televisiva o radiofónica de esas que tanto abundan, de esas que parecen exigir un certificado de ignorancia enciclopédica para poder formar parte de la plantilla, es decir, de todas ellas. Con sesenta y siete años, convencido de estar llamado a establecer los grandes principios de la matemática publicó De corpore, en el que propuso un método para cuadrar el círculo. Fue entonces cuando un verdadero matemático, John Wallis, publicó un folleto que ponía en evidencia todos los errores de la obra de Hobbes. Aquí nació un divertido debate que se prolongó por muchos años.




Image hosted by Photobucket.com


Hobbes respondió al primer ataque de Wallis haciendo reimprimir su libro en inglés e incluyendo un ultílogo titluado ‘Six lessons to the Professors of Mathematics... (Seis lecciones para profesores de matemáticas...)(Confío en que el lector sabrá disculpar que abrevie los interminables títulos de las obras del siglo XVII). Wallis replicó con ‘Due Correction for Mr. Hobbes in School Doscipline for not saying his Lessons right’ (Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones). Hobbes contraatacó entonces con ‘Marks of the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church Politics, and Barbarisms of John Wallis’ (Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis). Wallis devolvió el fuego con ‘Hobbiani Puncto Dispunctio! Or the Undoing of Mr. Hobbes’Points’ (Hobbiani Puncto Dispunctio! O La refutación de los puntos del señor Hobbes). Algunos panfletos más tarde (mientras tanto, Hobbes había publicado anónimamente en París un absurdo método de duplicación del cubo), Hobbes escribía: «O bien sólo yo estoy loco, o ellos (los profesores de matemáticas) han perdido por completo el juicio: no podemos, pues, aceptar una tercera opinión, a menos que aceptemos que todos estamos locos.»
«La refutación está de más –fue la respuesta de Wallis–. Pues si él está loco, seguramente no atenderá a razones; por otra parte, si somos nosotros los locos, tampoco nos encontraremos en condiciones de intentar convencerle».

Todo esto duró hasta la muerte de Hobbes a los noventa y un años. Yo he reencontrado este texto releyendo un viejo libro de Martin Gardner, que no abría desde 1981, con ánimo de recordar mi primer contacto con la obra de M.C. Escher, que en los últimos días, a la luz de los comentarios, parece insisitir en asomar por aquí. Serias (y amenazadoras) razones de copyright me impiden traer aquí reproducciones de la obra de Escher. Veamos qué soy capaz de hacer sólo con palabras (y enlaces a su ‘página oficial’). Pero antes, déjenme explicarme un poco, sobre todo porque el ilustrador oficial de la panda, el señor Chin, no siente interés por Escher (‘La obra de Escher se me antoja “matemáticas” y se me dan mal’, nos dijo ayer). Por cierto, no estaría de más que alguien completase la entrada sobre Escher en la Wikipedia en español, la versión inglesa es mucho más completa. Anímese alguno.

Por alguna razón que se me escapa, las matemáticas tienen muy mala fama. Si no recuerdo mal fue John Allen Paulos, en su Hombre anumérico, quien mejor supo expresar esta idea escribiendo algo como esto: Confesar públicamente la ignorancia de Shakespeare (si quieren una versión localista pongan aquí Cervantes) está mal visto, sin embargo, en círculos culturales todavía se mira con buenos ojos a quien confiesa o incluso alardea de no saber hacer una raíz cuadrada. Allá ellos. Yo sé que se pierden buena parte del mundo que les rodea. Recurran a J.A. Paulos si quieren tener una divertida visión de las consecuencias del analfabetismo matemático. Yo dejo aquí el tema para intentar centrarme en el artista holandés.

Yo me topé con Escher hacia finales de los años setenta leyendo un ensayo de Gardner sobre el libro Introduction to Geometry (comprar en Amazon) de Harold Scott Macdonald Coxeter. Allí encontré por primera vez una referencia a los ‘mosaicos matemáticos’. Un mosaico es una región plana recubierta de polígonos yuxtapuestos exactamente, de forma que ni se solapan ni dejan intersticios entre ellos. Cabe hablar de ‘mosaicos regulares’ cuando los polígonos son todos iguales (sólo existen tres polígonos que permiten formar un mosaico: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono). Si se utilizan dos o más tipos de polígonos hablamos de ‘mosaicos semirregulares’ (de los cuales sólo existen ocho tipos formados por distintas combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos). El estudio de las simetrías y de la teoría de grupos es fundamental en el campo de los ‘mosaicos’, sobre todo si uno tiene intención de alicatar el cuarto de baño de forma original. Todos los motivos que cubren el plano por repetición se obtienen por traslación, giro o simetría de un motivo principal. En 1891, el cristalógrafo ruso E.S. Feodorov demostró que sólo existen diecisite de estos grupos de simetría, que agotan todas las posibilidades de cubrir el plano. Pero mucho antes ya se conocían todos y cada uno de ellos. De hecho, hay ejemplos de mosaicos elaborados con cada uno de estos 17 grupos muy cerquita de la casa de nuestra Corsaria.

Aquellos que pinchan en los enlaces ya sabrán que me refiero a uno, el primero, de los dos grandes hitos en la historia del mosaico, la Alhambra de Granada. Pueden encontrar numerosas páginas en la red sobre la cuestión, algunas de ellas muy sencillas, para no asustar a nadie (Primer y segundo ejemplo).

Pero si la Alhambra constituye el primer gran momumento en la historia del mosaico, el segundo de ellos es, sin género de dudas, la obra del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Si los árabes llevaron el mosaico a su máxima expresión a través de una aproximación totalmente empírica, Escher hizo lo propio a través de una rigurosa comprensión de las leyes matemáticas que esconden (aunque, obviamente, no debe olvidarse que hablamos de un artista que usa las matemáticas y no de un matemático; el análisis o la mera contemplación de obras como ‘Angeles y demonios’, y su espectacular versión circular, no debe limitarse a la apreciación de los grupos de simetría que son simple instrumento de su creación).

Escher no se limitó a los mosaicos. Su obra está repleta de imágenes basadas en geometrías imposibles, como Belvedere, las escaleras sin fin o la cascada de movimiento continuo. Es muy conocida también su ilustración de la banda de Möebius recorrida eternamente por un grupo de hormigas. En lo blogosfera ha tenido éxito su 'Drawing Hands' como representación de lo que es un blog. Pero sus mosaicos tienen algo enigmático y sorprenden por la variedad de sus temas, desde personas, aves y peces, hasta el que me gusta llamar Jekyll y Hyde. El primero que yo conocí, en aquel ensayo de Martin Gardner, fueron los guerreros a caballo. Aquí tienen toda una galería de ellos.

Quizá resultan todavía más interesantes aquellos trabajos en que los mosaicos se solapan con otros temas y preocupaciones, como el mosaico de lagartos (fíjense en el papel) basado en un hexágono del cual éstos escapan hacia la tercera dimensión. O estas enigmáticas figuras aladas a las que les ocurre lo mismo con el añadido de uno de esos espejos que tanto abominaba Borges. O los 'mosaicos evolutivos' en que las figuras se van transformando en cada dirección.

Rebuscando por ahí he encontrado este curioso ensayo (en PDF) en el que se pasa revista a los mosaicos de la Alhambra, la obra de Escher, los intrigantes mosaicos aperiódicos de Roger Penrose (de quien quizá hable aquí otro día) e incluso de ciertas propiedades de los cuasicristales. No pretendo, es imposible, agotar aquí la figura y la obra de Escher. Sírvanse un café y tómense su tiempo en la contemplación detenida de sus grabados. Merece la pena y siempre deparan sorpresas. Como la red, que no deja de ser un mosaico virtual. No en vano el primer navegador Web de la historia llevaba por nombre Mosaic .

Recomendaciones interesadas

Inicio aquí una nueva sección promocional destinada a facilitar (o mendigar) el crecimiento de mi biblioteca en estos tiempos (para mí) de enjutos rumiantes (qué feliz cultismo, ¿verdad?). Sé que a algunos ofenderá ver a los mercaderes en el templo. Es su problema, por creer que esto es un templo.

La idea es muy simple. Les traeré aquí, en cada post, la recomendación de un disco y un libro relacionados, tal vez lejanamente, con cada escrito.

Un libro - Bruno Ernst, Un mundo de figuras imposibles

Un mundo de figuras imposibles: Por influencia de Aquende, inicio esta sección con una recomendación de ‘segunda mano’. No he leído el libro, pero Bruno Ernst es un matemático amigo personal de Escher que discutió con él con gran detalle la génesis de muchas de sus obras. Yo, desde luego, me tiraré de cabeza a por él.

Un disco - Johann Sebastian Bach, Cantanta del café

Bach, Cantata del Café: Hace unos años tuvo cierto éxito un libro de Douglas Hofstadter que encontraba paralelismos ocultos entre la obra de Escher y la de Bach. Quizá por ello Bach me parece un acompañamiento imprescindible para contemplar a Escher y, ya que les he pedido que se sirvan un café, nada más apropiado que escuchar una de sus cantatas profanas, la Cantata del Café. Para el oido lego puede resultar indistinguible de la sacralidad de las cantatas religiosas, pero, aunque no me crean, presenta en un curioso drama en miniatura a un grosero padre y a su refinada hija Lieschen, que no se halla dispuesta a renunciar a su vicio de bebedora de café hasta que su padre le haga la promesa de proporcionarle un marido. Para muestra un aria convenientemente traducida:


¡Ay! Cómo me gusta el dulce café,
más deliciosa que mil besos
más suave que el vino de moscatel.
Café, café, te necesito;
y si alguien me quiere solazar,
¡ah, que me ofrezca café!

Que levante la mano quien se hubiera creído que esta letra pertenece a una cantata de Bach.